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特征分解 Eigendecomposition

特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。


N 维非零向量 vN×N 的矩阵 A 的特征向量,当且仅当下式成立:

其中 λ 为一标量,称为 v 对应的特征值。也称 v 为特征值 λ 对应的特征向量。也即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

由上式可得

称多项式 p(λ) 为矩阵的特征多项式。上式亦称为矩阵的特征方程。特征多项式是关于未知数 λN 次多项式。由代数基本定理,特征方程有 N 个解。这些解的解集也就是特征值的集合,有时也称为“谱”(Spectrum)。

我们可以对多项式 p 进行因式分解,而得到

其中

对每一个特征值 λi ,我们都有下式成立:

对每一个特征方程,都会有

)个线性无关的解。这 mi 个向量与一个特征值 λi 相对应。这里,整数 mi 称为特征值 λi几何重数,而 ni 称为代数重数。这里需要注意的是几何重数与代数重数可以相等,但也可以不相等。一种最简单的情况是 mi = ni = 1。特征向量的极大线性无关向量组中向量的个数可以由所有特征值的几何重数之和来确定。


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百科知识
2021-05-11 23:49:38加入圈子
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